Matek feladatok 10

Kategória: Matek feladatok.

Tizenöt

Van 9 kocka, mindegyiken egy-egy szám, 1-től 9-ig. A kétjátékos játék a következő: a játékosok felváltva választanak egy-egy kockát. Az nyer, aki előbb gyűjt össze 3 olyan kockát, amelyen levő számok összege 15. Egy példa:

• A: 5
• B: 7
• A: 4, így az A kezében most 4 és 5 van
• B: 6, megakadályozza a 4+5+6-ot, így a B kezében most 6 és 7 van
• A: 2, megakadályozza a 3+6+7-et, tehát az A kezében 2, 4 és 5 van
• B: 9, így B kezében ezek vannak: 6, 7, 9
• A: 8, így A kezében ezek vannak: 2, 4, 5 és 8, és ezzel nyert, mert 2+5+8=15.

Kinek van nyerős stratégiája és mi az?

+ Megoldás (kinyit)

Írjuk fel az összes lehetőséget, ami 15-öt ad eredményül:

• 9+5+1
• 9+4+2
• 8+6+1
• 8+5+2
• 8+4+3
• 7+6+2
• 7+5+3
• 6+5+4

Írjuk fel a számokat a következő táblázatos elrendezésben:

2	7	6
9	5	1
4	3	8

Figyeljük meg, hogy a 3 vízszintes és a 3 függőleges vonal valamint a 2 átló pont a fenti 8 felbontást tartalmazza. A feladatot ezzel visszavezettük a tic-tac-toe játékra! ott már tudjuk, hogy mindkét félnek van döntetlen stratégiája. Röviden összefoglalva:

• Célszerű középen kezdeni, azaz az 5-öst választani.
• Ebben az esetben az oldalak (7, 9, 1, 3) vesztők, így a másik játékosnak a sarkok közül érdemes választania (a szimmetria miatt mindegy, melyiket): 2, 6, 4 vagy 8.
• A kezdőjátékosnak itt a legjobb lépése a másik játékos által választott számmal átlósan elhelyezkedő szám, például 2 esetén a 8. Ez esetben ugyanis a fennmaradó hatból számára négy nyerő, kettő döntetlen.
• A második játékosnak az egyik sarkot érdemes választania, pl. 5, 2 és 8 után például a 4-est.
• Ezt követően már csak a nyilvánvaló vereség elkerülésére kell mindkét félnek figyelnie.

Ez a játék kiváló példa arra, hogy van két teljesen ekvivalens játék, az egyik esetben nyilvánvaló az helyes stratégia, a másikban nagyon nem az.

Hangya a dobozban

Van egy 30x12x12 méretű doboz. Belül van egy hangya az egyik végén középen, alulról 1 egységre, míg egy csepp méz az ellentétes oldalon, ugyancsak középen, 1 egységre a tetejétől. Az elrendezés az alábbi (a hangya és a méz is az oldaltól 6-6 egységre van):

A hangya milyen úton tudja a legrövidebben megközelíteni a mézet?

+ Megoldás (kinyit)

A hangya természetesen nem tud repülni; a repülni tudó feladatokban légy szerepel.

A feladattal a https://www.youtube.com/watch?v=yIAgTHrakCg videóban találkoztam, és az ábrákat is ott készítettem, képernyőképként.

Az első gondolat minden bizonnyal az, hogy a hangya felmászik a tetejére ott végigmászik, majd lemászik a mézhez:

Ez a távolság 42 egység.

Első ránézésre talán meglepő, de van ennél rövidebb távolság is! Az alapgondolat a következő: ha gondolatban kiterítjük az oldalakat, akkor 2 pont között behúzhatunk egy egyenest, ami a legrövidebb útvonal. Ezt az alábbi ábra szemlélteti:

Utána ezt a vonalat kell az eredeti elrendezésben megállapítani.

Többféle módon tudjuk kiteríteni. Az egyik lehetőség ez:

Pitagorasz-tétel segítségével kijön, hogy az útvonal hossza több mint 43, tehát ez rosszabb mint az első gondolat.

A következő lehetőség ez:

Ez már jobb mint az első, ugyanis itt a távolság 40,71 egység.

A megoldást a harmadik lehetőség adja:

Itt kiszámolva a háromszög befogóit, majd Pitagorasz-tétellel kiszámolva az átfogót, az útvonal hosszára 40-et kapunk. Ha visszahelyezzük az útvonalat az eredeti dobozra, akkor ezt a cikkcakkos vonalat kapjuk:

Motorbiciklik

Van 16 motorbiciklink, melyekben annyi üzemanyag van, hogy egyenként 100 km-t tudnak megtenni. Mindegyik motorbicikli ugyanonnan indul, és mindegyiknek van egy vezetője. Legfeljebb mekkora távolságra lehet így eljutni?

+ Megoldás (kinyit)

A megfejtéshez vezető első lépés az az, hogy az üzemanyag áttöltéssel induljunk el a gondolkodásban. Egy motor 100 km-t tud megtenni. 2 motor esetén ha 50 km után az egyikből áttöltjük a benzint a másikba, akkor ez utóbbi összesen 150 km-t tud megtenni. Ebből következik a gondolat, hogy 50 km-nél 8 motor megy tovább, 100 km-nél 4 motor, 150 km-nél, 2 motor, 200 km-nél pedig egy motor teljesen feltöltve, szóval a megoldás 300.
Valójában ennél van egy jobb módszer is. Ha megteszi a 16 motor az út 1/16-odát (6,25 km-t), majd az egyik motorból egyenletesen mindbe áttöltjük a benzint, akkor 15 motor megy tovább teli tankkal. Az út további 1/15-öd részénél ugyanezt eljátsszuk, egészen a végéig. Ha kiszámoljuk (100*(1/16 + 1/15 + 1/14 + … + 1/2 + 1)), akkor azt kapjuk, hogy a végeredmény kb. 338 km, ami valamivel jobb mint az előzetesen számolt 300 km, és ez a megoldás. (Az jó kérdés, hogy hogyan lehet azt bizonyítani, hogy ennél nincs jobb megoldás.)
Az eredeti videó: https://www.youtube.com/watch?v=jGLsVlsNcS0.